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第1章　函数与模型1

第1.1节　函数的概念及基本性质1

1．函数的基本概念1

2．反函数6

3．函数的基本性质8

习题1.1（A）11

习题1.1（B）12

第1.2节　常见函数12

1．基本初等函数13

2．常见函数15

3．初等函数20

习题1.2（A）21

习题1.2（B）22

第1.3节　函数模型及其应用22

1．数学模型的概念22

2．应用范例23

习题1.3（A）28

第1.4节　Mathematica软件应用29

1．Mathematica软件简介29

2．Mathematica软件中的函数36

3．Mathematica作二维图形40

4．技能训练44

第2章　极限与连续47

第2.1节　函数的极限47

1．引例47

2．函数的极限50

习题2.1（A）58

第2.2节 函数极限的性质及运算法则59

1．函数极限的性质59

2．极限的运算法则59

3．极限存在准则和两个重要极限66

4．再谈无穷小量72

习题2.2（A）77

习题2.2（B）78

第2.3节　经济管理中的例子79

1．复利与贴现79

2．蛛网模型81

习题2.3（A）84

第2.4节 函数极限的精确定义84

习题2.4（A）89

习题2.4（B）89

第2.5节　函数的连续性90

1．函数的连续性90

2．函数的间断点93

3．连续函数的运算性质95

4．闭区间上连续函数的性质97

习题2.5（A）100

习题2.5（B）101

第2.6节　Mathematica软件应用101

1．讨论一元函数的极限与连续101

2．技能训练103

第3章　导数与微分106

第3.1节　导数的概念106

1．瞬时速度、切线斜率及其他变化率106

2．导数的概念109

3．可导性与连续性的关系115

习题3.1（A）116

习题3.1（B）117

第3.2节　求导法则118

1．基本初等函数的导数118

2．函数和、差、积、商的求导法则122

3．复合函数的求导法则125

4．隐函数求导法则128

5．参数方程的求导法则132

习题3.2（A）134

习题3.2（B）135

第3.3节　微分136

1．线性化136

2．微分的概念138

3．微分的运算法则142

4．微分在近似计算中的应用144

习题3.3（A）146

习题3.3（B）146

第3.4节　经济中的例子147

1．边际147

2．弹性149

3．增长率152

习题3.4（A）152

第3.5节　Mathematica软件应用153

1．求一元函数的导数与微分153

2．技能训练155

第4章 中值定理与导数的应用158

第4.1节　中值定理158

1．罗尔定理158

2．拉格朗日中值定理161

3．柯西中值定理164

习题4.1（A）165

习题4.1（B）166

第4.2节　洛必达法则166

1．0/0型未定式167

2．∞/∞型未定式168

3．其他类型未定式170

习题4.2（A）172

习题4.2（B）172

第4.3节 泰勒公式173

习题4.3（A）178

习题4.3（B）178

第4.4节　函数的单调性与极值179

1．函数单调性的判别法179

2．函数极值的求法182

3．函数最值的求法185

习题4.4（A）186

习题4.4（B）186

第4.5节　凹凸性与函数作图187

1．曲线的凹凸性及拐点188

2．来源于导数的函数图形的特征191

3．函数作图192

习题4.5（A）197

习题4.5（B）198

第4.6节　最优化问题198

习题4.6（A）203

习题4.6（B）204

第4.7节　Mathematica软件应用204

1．一元函数的极值与最值204

2．技能训练206

第5章　积分208

第5.1节　定积分的概念及基本性质208

1．距离问题和面积问题208

2．定积分的定义213

3．定积分的几何意义215

4．定积分的基本性质216

习题5.1（A）222

习题5.1（B）223

第5.2节　微积分基本定理223

1．微积分第一基本定理223

2．原函数与不定积分226

3．微积分第二基本定理232

习题5.2（A）234

习题5.2（B）235

第5.3节　基本积分法236

1．换元积分法236

2．分部积分法251

3．有理函数的积分254

习题5.3（A）256

习题5.3（B）257

第5.4节　定积分的近似计算258

习题5.4（A）261

第5.5节　反常积分261

1．无穷限积分262

2．瑕积分265

习题5.5（A）267

习题5.5（B）268

第5.6节　Mathematica软件应用268

1．求不定积分268

2．定积分的计算269

3．反常积分的计算270

4．Γ函数的计算271

5．技能训练271

第6章　定积分的应用273

第6.1节　定积分的微元法273

第6.2节　定积分在几何学中的应用274

1．平面图形的面积274

2．求旋转体的体积277

习题6.2（A）279

习题6.2（B）279

第6.3节　定积分在经济学和管理学中的应用280

1．净增长问题280

2．投资问题281

3．社会收入分配问题283

习题6.3（A）284

习题6.3（B）285

第6.4节　定积分在概率中的应用285

第6.5节　Mathematica软件应用288

1．积分的计算288

2．技能训练289

第7章 向量代数与空间解析几何291

第7.1节　空间直角坐标系291

1．空间直角坐标系的建立291

2．空间内点的坐标292

3．空间中两点间的距离293

习题7.1（A）294

习题7.1（B）295

第7.2节　向量代数295

1．向量的概念295

2．向量的线性运算296

3．向量的坐标297

4．向量的数量积与向量积300

习题7.2（A）306

习题7.2（B）307

第7.3节　空间中的平面和直线307

1．平面及其方程307

2．空间直线的方程311

习题7.3（A）314

习题7.3（B）315

第7.4节　常见的曲面与空间曲线315

1．常见的二次曲面315

2．空间曲线321

3．空间曲线在坐标平面上的投影322

习题7.4（A）323

习题7.4（B）324

第7.5节 Mathematica软件应用324

1．向量数量积与向量积的计算324

2．空间中曲面的画法325

3．空间中曲线的画法328

4．技能训练330

第8章　多元函数微分学332

第8.1节　多元函数的概念332

1．平面点集333

2．二元函数的定义334

3．二元函数的图形336

习题8.1（A）337

习题8.1（B）337

第8.2节　二元函数的极限与连续338

1．二元函数的极限338

2．二元函数的连续性340

习题8.2（A）341

习题8.2（B）342

第8.3节　多元函数的偏导数342

1．偏导数的概念343

2．复合函数的偏导数346

3．隐函数的偏导数349

4．高阶偏导数351

习题8.3（A）353

习题8.3（B）354

第8.4节　全微分355

1．全微分的概念355

2．二元函数可微、偏导数存在及连续之间的关系356

3．一阶全微分形式的不变性359

4．全微分在近似计算中的应用360

习题8.4（A）361

习题8.4（B）361

第8.5节　多元函数微分学的应用362

1．空间曲面的切平面与法线362

2．偏导数在弹性分析中的应用363

3．多元函数的极值与最值365

4．经济函数优化问题372

5．最小二乘法374

习题8.5（A）377

习题8.5（B）378

第8.6节　Mathematica软件应用378

1．绘制二元函数的图形379

2．求多元函数的偏导数与全微分379

3．多元函数的极值与条件极值381

4．技能训练383

第9章　重积分385

第9.1节　二重积分的概念与性质385

1．曲顶柱体的体积385

2．二重积分的定义387

3．二重积分的几何意义388

4．二重积分的性质388

习题9.1（A）390

习题9.1（B）390

第9.2节　二重积分的计算391

1．在直角坐标系下二重积分的计算391

2．在极坐标系下二重积分的计算397

习题9.2（A）401

习题9.2（B）401

第9.3节　反常二重积分与三重积分简介402

1．反常二重积分402

2．三重积分405

习题9.3（A）407

习题9.3（B）408

第9.4节　二重积分应用408

1．空间立体的体积408

2．平面薄片的质量409

习题9.4（A）411

习题9.4（B）411

第9.5节　Mathematica软件应用411

1．计算二重积分、反常二重积分及三重积分411

2．技能训练413

第10章　无穷级数415

第10.1节　常数项级数的概念和性质415

1．常数项级数的概念415

2．常数项级数的性质418

3．级数收敛的必要条件419

习题10.1（A）420

习题10.1（B）422

第10.2节　正项级数422

1．正项级数及其收敛准则422

2．正项级数审敛法423

习题10.2（A）428

习题10.2（B）429

第10.3节　任意项级数430

1．交错级数及其审敛法430

2．绝对收敛与条件收敛432

习题10.3（A）434

习题10.3（B）435

第10.4节　幂级数436

1．函数项级数的基本概念436

2．幂级数及其收敛性437

3．幂级数的运算441

习题10.4（A）445

习题10.4（B）445

第10.5节　函数展开成幂级数446

1．泰勒级数及函数展开成幂级数的方法446

2．幂级数的简单应用451

习题10.5（A）452

习题10.5（B）452

第10.6节　Mathematica软件应用453

1．数项级数的敛散性453

2．求函数项级数的和函数454

3．函数的幂级数展开式455

4．技能训练456

第11章　微分方程458

第11.1节　微分方程的基本概念458

1．引例458

2．微分方程的基本概念459

习题11.1（A）461

习题11.1（B）462

第11.2节　一阶微分方程462

1．可分离变量方程462

2．一阶线性微分方程467

3．伯努利方程470

习题11.2（A）471

习题11.2（B）473

第11.3节　二阶微分方程474

1．可降阶的二阶微分方程474

2．二阶线性微分方程477

习题11.3（A）485

习题11.3（B）486

第11.4节　Mathematica软件应用487

1．求解一阶、二阶微分方程487

2．技能训练488

第12章　差分方程491

第12.1节　差分与差分方程的概念491

1．差分的概念与性质491

2．差分方程的基本概念494

3．常系数线性差分方程及其解的结构495

习题12.1（A）497

习题12.1（B）497

第12.2节　一阶常系数线性差分方程498

1．一阶常系数齐次线性差分方程的通解498

2．一阶常系数非齐次线性差分方程的通解499

习题12.2（A）504

习题12.2（B）504

第12.3节　二阶常系数线性差分方程505

1．二阶常系数齐次线性差分方程的通解505

2．二阶常系数非齐次线性差分方程的通解507

习题12.3（A）509

习题12.3（B）510

第12.4节　差分方程在经济中的应用510

1．存贷款问题510

2．动态经济系统的蛛网模型512

3．价格与库存模型514

4．国民收入的稳定性问题515

习题12.4（A）516

第12.5节　Mathematica软件应用517

1．差分的计算517

2．求解一阶常系数差分方程518

3．技能训练518

附录Ⅰ 常用的三角函数恒等式520

附录Ⅱ 对数函数运算性质521

附录Ⅲ　极坐标522

附录Ⅳ 二阶和三阶行列式的计算524

习题答案与提示526

参考文献559