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第一章 函数与极限1

第一节 初等函数1

一、基本初等函数1

二、初等函数1

三、函数的性质1

四、点x0的δ邻域2

第二节 极限2

一、数列的极限2

二、函数的极限5

第三节 极限的运算8

一、无穷小量的运算8

二、极限运算法则12

三、两个重要极限15

第四节 函数的连续性18

一、函数的连续性18

二、初等函数的连续性20

三、函数的间断点22

四、闭区间上连续函数的性质23

第五节 计算机应用25

实验一、数学软件Mathematica简介25

一、Mathematica介绍25

二、Mathematica的安装与启动25

三、Mathematica的输入、输出和运行26

四、Mathematica中基本的运算符号27

五、Mathematica的基本量27

实验二、用Mathematica求极限29

习题一30

第二章 导数与微分35

第一节 导数35

一、引入35

二、导数的定义36

三、导数的物理意义和几何意义37

四、函数可导性与连续性的关系38

第二节 求导数的一般方法38

一、常数和几个基本初等函数的导数38

二、函数四则运算的求导法则39

三、复合函数的求导法则41

四、隐函数的求导41

第三节 高阶导数44

第四节 中值定理 洛必达法则45

一、中值定理45

二、洛必达法则47

第五节 函数性态的研究50

一、函数的单调性50

二、函数的极值51

三、曲线的凹凸性和拐点55

四、函数图形的描绘56

第六节 微分及其应用58

一、微分58

二、微分的几何意义59

三、一阶微分形式不变性59

四、微分的应用60

第七节 泰勒公式61

一、泰勒公式61

二、函数的麦克劳林公式62

第八节 计算机应用64

实验一、用Mathematica求导数64

实验二、用Mathematica描绘函数图像64

实验三、用Mathematica求极值66

习题二67

第三章 不定积分74

第一节 不定积分的概念74

一、不定积分的概念74

二、基本积分公式76

三、不定积分的性质77

第二节 换元积分法79

一、第一换元积分法79

二、第二换元积分法83

第三节 分部积分法86

第四节 有理函数与简单无理函数的积分89

一、有理函数的积分89

二、简单无理函数的积分91

第五节 积分表的使用93

第六节 计算机应用94

实验 用Mathematica求不定积分94

习题三95

第四章 定积分及其应用97

第一节 定积分的概念和性质97

一、两个典型实例97

二、定积分的概念99

三、定积分的性质101

第二节 牛顿-莱布尼兹公式103

一、变上限函数103

二、牛顿-莱布尼兹公式104

第三节 定积分的计算106

一、定积分的换元积分法106

二、定积分的分部积分法107

第四节 定积分的应用109

一、微元法110

二、定积分在几何学中的应用110

三、定积分在物理上的应用117

四、定积分在医学中的应用120

第五节 广义积分和Γ函数121

一、无穷区间上的广义积分122

二、被积函数有无穷型间断点的广义积分123

三、Γ函数125

第六节 计算机应用126

习题四128

第五章 无穷级数132

第一节 无穷级数的概念和基本性质132

一、无穷级数的概念132

二、无穷级数的基本性质134

三、级数收敛的必要条件136

第二节 常数项级数收敛性判别法136

一、正项级数收敛性判别法136

二、交错级数收敛性判别法140

三、绝对收敛与条件收敛141

第三节 幂级数142

一、函数项级数的基本概念142

二、幂级数及其敛散性143

三、幂级数的运算146

四、泰勒级数148

五、初等函数的幂级数展开法149

六、幂级数的应用153

七、欧拉公式155

第四节 计算机应用156

实验一、用Mathematica求数项级数和及和函数156

实验二、用Mathematica进行泰勒级数展开157

习题五158

第六章 空间解析几何161

第一节 空间直角坐标系161

一、空间点的直角坐标161

二、空间两点间的距离162

第二节 空间曲面与曲线163

一、空间曲面及其方程163

二、空间曲线及其方程165

三、空间曲线在坐标面上的投影166

第三节 二次曲面167

一、椭球面167

二、双曲面168

三、抛物面169

第四节 行列式169

一、二阶行列式169

二、三阶行列式及其性质170

三、行列式的计算172

四、用行列式解三元线性方程组173

第五节 向量代数174

一、向量的概念174

二、向量的坐标表示法176

三、向量的数量积与向量积178

第六节 空间平面及直线182

一、平面方程182

二、空间直线的方程183

第七节 计算机应用184

实验一、用Mathematica求行列式的值184

实验二、用Mathematica解方程（组）184

习题六185

第七章 多元函数及其微分法188

第一节 多元函数的极限与连续188

一、多元函数的概念188

二、二元函数的极限191

三、二元函数的连续性192

第二节 偏导数194

一、偏导数的定义及其计算法194

二、高阶偏导数197

第三节 全微分199

一、全增量与全微分199

二、全微分在近似计算中的应用201

第四节 多元复合函数与隐函数的偏导数202

一、多元复合函数的求导法则202

二、隐函数的偏导数203

第五节 方向导数与梯度204

一、方向导数204

二、梯度206

第六节 多元函数微分法在几何上的应用207

一、空间曲线的切线与法平面207

二、曲面的切平面与法线208

第七节 多元函数的极值210

一、二元函数的极值210

二、拉格朗日乘数法213

第八节 经验公式与最小二乘法216

第九节 计算机应用219

实验一、用Mathematica描绘二元函数的图形219

实验二、用Mathematica建立经验公式221

习题七222

第八章 多元函数积分法226

第一节 二重积分226

一、二重积分的概念226

二、二重积分的性质228

三、二重积分的计算229

第二节 广义二重积分235

第三节 二重积分的应用237

一、曲面的面积237

二、在静力学中的应用238

第四节 曲线积分239

一、对弧长的曲线积分239

二、对坐标的曲线积分242

第五节 格林公式及其应用245

一、格林公式245

二、曲线积分与路径无关的条件248

第六节 计算机的应用250

实验一、用Mathematica计算二重积分250

实验二、用Mathematica计算曲线积分251

习题八252

第九章 常微分方程及其应用256

第一节 微分方程的基本概念256

第二节 一阶微分方程258

一、可分离变量的微分方程258

二、一阶线性微分方程262

第三节 可降阶的高阶微分方程265

一、y（n）＝f（x）型的微分方程265

二、y″＝f（x，y′）型的微分方程266

三、y″＝f（y，y′）型的微分方程266

第四节 二阶线性微分方程267

一、二阶线性微分方程解的性质267

二、二阶常系数线性齐次微分方程269

三、二阶常系数线性非齐次微分方程272

第五节 微分方程组276

第六节 用拉普拉斯变换解微分方程277

一、拉普拉斯变换的概念和性质278

二、用拉普拉斯变换解微分方程281

第七节 微分方程在药物动力学中的应用282

第八节 计算机应用286

习题九289

附表一 简明积分表293

附录一 汉英对照名词301

附录二 习题答案306

参考文献322