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第1章 极限与连续1

1.1 数列极限1

1.1.1 数列极限的定义2

1.1.2 收敛数列的性质5

1.1.3 收敛数列的四则运算7

1.1.4 数列收敛的判别法则10

1.1.5 自然对数底e13

习题1.114

1.2 函数极限16

1.2.1 函数在无穷大处的极限16

1.2.2 函数在一点的极限18

1.2.3 函数极限与数列极限的关系21

1.2.4 函数极限的性质和运算22

1.2.5 函数极限存在判别法23

1.2.6 两个重要极限25

1.2.7 无穷大量27

1.2.8 无穷小量28

1.2.9 关于“O”和“o”30

习题1.231

1.3 连续函数33

1.3.1 连续的定义33

1.3.2 连续函数的性质35

1.3.3 闭区间上连续函数的性质39

习题1.341

第1章补充习题43

第2章 一元函数的微分学45

2.1 导数45

2.1.1 导数的定义45

2.1.2 导数的运算48

2.1.3 求导基本法则和基本公式53

2.1.4 高阶导数54

习题2.157

2.2 一元函数的微分60

2.2.1 微分的定义60

2.2.2 微分运算的基本公式和法则62

2.2.3 微分的形式不变性62

习题2.263

2.3 Lagrange中值定理，函数的增减与极值64

2.3.1 Fermat定理和Rolle定理64

2.3.2 中值定理66

2.3.3 函数的增减68

2.3.4 函数的极值69

习题2.370

2.4 Cauchy中值定理和未定式极限72

2.4.1 Cauchy中值定理和L’Hospital法则72

2.4.2 未定式的极限73

习题2.477

2.5 函数图形的描绘78

2.5.1 函数的凹凸和拐点78

2.5.2 函数的渐近线80

2.5.3 描绘函数图像的要点81

习题2.583

2.6 Taylor公式84

2.6.1 Taylor多项式84

2.6.2 Taylor定理84

2.6.3 几个基本初等函数的Maclaurin公式86

习题2.689

第2章补充习题90

第3章 一元函数的不定积分92

3.1 原函数和不定积分的概念92

3.1.1 求导的逆运算92

3.1.2 基本积分公式94

习题3.195

3.2 基本积分方法95

3.2.1 换元积分法95

3.2.2 分部积分法100

习题3.2103

3.3 有理函数的积分105

3.3.1 有关多项式的补充知识105

3.3.2 部分分式法108

3.3.3 例题109

3.3.4 三角有理式的积分112

3.3.5 其他114

习题3.3116

第4章 一元函数的定积分118

4.1 定积分的定义和性质118

4.1.1 定积分的定义118

4.1.2 可积函数类121

4.1.3 Newton-Leibniz公式123

4.1.4 积分的性质124

习题4.1128

4.2 微积分基本定理130

习题4.2133

4.3 定积分的换元法和分部积分法133

4.3.1 定积分的换元法134

4.3.2 定积分的分部积分法136

习题4.3138

4.4 积分近似计算139

4.4.1 矩形法140

4.4.2 梯形法141

4.4.3 抛物线法（Simpson公式）143

习题4.4145

4.5 定积分应用举例145

4.5.1 微元法145

4.5.2 平面曲线的弧长147

4.5.3 平面图形的面积149

4.5.4 旋转体的体积153

4.5.5 旋转体的侧面积154

4.5.6 力学应用举例155

习题4.5156

4.6 广义积分158

4.6.1 无穷积分158

4.6.2 瑕积分161

4.6.3 广义积分的Cauchy主值162

习题4.6163

第4章补充习题164

第5章 常微分方程166

5.1 常微分方程的基本概念166

习题5.1167

5.2 一阶线性微分方程167

5.2.1 分离变量型方程168

5.2.2 齐次方程169

5.2.3 一阶线性微分方程173

5.2.4 可降阶的二阶微分方程177

习题5.2178

5.3 二阶线性微分方程的一般理论180

5.3.1 二阶齐次线性方程通解的结构180

5.3.2 二阶线性非齐次方程通解的结构185

习题5.3186

5.4 二阶常系数线性微分方程187

5.4.1 关于复变量指数函数的注记187

5.4.2 二阶常系数线性齐次方程188

5.4.3 二阶常系数线性非齐次方程190

5.4.4 Euler方程194

习题5.4195

5.5 质点的振动196

5.5.1 自由简谐振动196

5.5.2 自由阻尼振动197

5.5.3 无阻尼的强迫振动199

5.5.4 有阻尼的强迫振动200

习题5.5202

5.6 n阶线性微分方程和微分方程组202

5.6.1 n阶线性方程解的结构202

5.6.2 n阶常系数齐次线性方程203

5.6.3 n阶常系数非齐次线性方程203

5.6.4 Euler方程206

5.6.5 微分方程组207

习题5.6209

第6章 实数集的连续性，函数的可积性211

6.1 实数集的连续性211

6.1.1 实数的连续性命题211

6.1.2 十进小数和有理数集的完备化216

6.1.3 连续函数的性质217

习题6.1219

6.2 可积函数及积分的性质220

6.2.1 连续函数的可积性221

6.2.2 可积函数223

6.2.3 积分的性质225

习题6.2230

附录231

A1 参考答案231

A2 参考教学进度245