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第1章 函数与极限1

1.1知识要点1

1.1.1映射与函数1

1.1.2函数的基本特性1

1.1.3反函数2

1.1.4复合函数3

1.1.5基本初等函数与初等函数3

1.1.6极限的概念与性质3

1.1.7无穷小与无穷大4

1.1.8极限的运算法则5

1.1.9极限存在准则与两个重要极限5

1.1.10函数的连续性6

1.1.11函数的间断点6

1.1.12连续函数的性质7

1.1.13闭区间上的连续函数的性质7

1.1.14一些重要的结论8

1.1.15一些常用的公式8

1.2典型例题分析9

1.2.1题型一、函数定义域的求解9

1.2.2题型二、函数表达式的求解10

1.2.3题型三、反函数的求解11

1.2.4题型四、复合函数的求解11

1.2.5题型五、函数的基本特性12

1.2.6题型六、极限的概念与性质问题14

1.2.7题型七、利用极限的四则运算法则求极限15

1.2.8题型八、利用单侧极限的性质求极限16

1.2.9题型九、利用两个重要极限求极限17

1.2.10题型十、利用等价无穷小量替换求极限17

1.2.11题型十一、利用极限存在准则求极限18

1.2.12题型十二、函数的连续性问题20

1.2.13题型十三、连续函数的等式证明问题21

1.3深化训练22

1.4深化训练详解25

1.5综合提高训练31

第2章 导数与微分36

2.1知识要点36

2.1.1导数的概念36

2.1.2导数的几何意义与物理意义36

2.1.3基本初等函数的导数公式37

2.1.4导数的四则运算法则37

2.1.5常用求导法则37

2.1.6高阶导数38

2.1.7微分的概念与性质39

2.1.8微分在近似计算中的应用40

2.2典型例题分析41

2.2.1题型一、导数与微分的定义问题41

2.2.2题型二、分段函数的求导问题43

2.2.3题型三、导数的几何意义44

2.2.4题型四、导函数的几何特性问题45

2.2.5题型五、利用可导性求参数值（域）46

2.2.6题型六、高阶导数问题47

2.2.7题型七、反函数、复合函数的求导问题48

2.2.8题型八、隐函数的求导问题49

2.2.9题型九、导函数的连续性问题50

2.2.10题型十、参数方程的求导问题50

2.2.11题型十一、微分问题51

2.3深化训练52

2.4深化训练详解54

2.5综合提高训练59

第3章 中值定理与导数的应用60

3.1知识要点60

3.1.1中值定理60

3.1.2洛必达法则60

3.1.3函数的单调区间61

3.1.4函数的极值61

3.1.5函数的凹凸区间与拐点61

3.1.6曲线的渐近线61

3.1.7函数作图62

3.1.8曲率、曲率圆与曲率半径62

3.1.9一些常用的麦克劳林公式62

3.2典型例题分析63

3.2.1题型一、利用中值定理证明等式问题63

3.2.2题型二、利用中值定理证明不等式问题65

3.2.3题型三、洛必达法则的应用65

3.2.4题型四、函数的凹凸性与拐点问题67

3.2.5题型五、显式不等式的证明问题69

3.2.6题型六、函数的零点（方程的根）问题71

3.2.7题型七、渐近线问题71

3.2.8题型八、泰勒公式的应用问题73

3.2.9题型九、曲率问题74

3.3深化训练75

3.4深化训练详解77

3.5综合提高训练85

第4章 不定积分89

4.1知识要点89

4.1.1不定积分的定义与性质89

4.1.2换元积分法89

4.1.3分部积分法90

4.1.4有理函数积分法90

4.1.5三角函数有理式的积分法90

4.1.6简单无理函数的积分法91

4.1.7常用积分公式表91

4.2典型例题分析92

4.2.1题型一、不定积分的概念与性质问题92

4.2.2题型二、利用换元积分法求解不定积分92

4.2.3题型三、利用分部积分法求解不定积分94

4.2.4题型四、利用等式∫ udv＋ ∫ vdu =uv＋C求解不定积分96

4.2.5题型五、求解有理函数的不定积分96

4.2.6题型六、求解三角函数有理式的不定积分97

4.2.7题型七、简单无理函数的不定积分98

4.2.8题型八、递推公式问题99

4.2.9题型九、分段函数的积分问题100

4.3深化训练101

4.4深化训练详解103

4.5综合提高训练108

第5章 定积分及其应用112

5.1知识要点112

5.1.1定积分的定义112

5.1.2定积分的几何意义与物理意义112

5.1.3定积分的性质113

5.1.4积分上限的函数及其导数114

5.1.5定积分的计算114

5.1.6反常积分（或广义积分）114

5.1.7几个重要的结论115

5.1.8定积分的应用116

5.2典型例题分析120

5.2.1题型一、有关定积分概念与性质的问题120

5.2.2题型二、利用换元法和分部积分法求解积分122

5.2.3题型三、带有技巧性的定积分计算问题125

5.2.4题型四、积分上限的函数及其导数问题127

5.2.5题型五、积分等式问题129

5.2.6题型六、积分不等式问题131

5.2.7题型七、广义积分问题133

5.2.8题型八、定积分的应用问题135

5.3深化训练137

5.4深化训练详解142

5.5综合提高训练151

第6章 微分方程158

6.1知识要点158

6.1.1一阶微分方程及解法158

6.1.2可降阶的高阶微分方程及解法159

6.1.3二阶线性微分方程160

6.1.4高阶线性微分方程161

6.1.5欧拉方程161

6.2典型例题分析162

6.2.1题型一、一阶微分方程的求解162

6.2.2题型二、高阶微分方程的求解164

6.2.3题型三、利用通解性质求解相关问题167

6.2.4题型四、微分方程的应用169

6.3深化训练171

6.4深化训练详解173

6.5综合提高训练182

第7章 空间解析几何与向量代数186

7.1知识要点186

7.1.1向量的概念及线性运算186

7.1.2曲面及其方程187

7.1.3空间曲线及其方程188

7.1.4平面及其方程188

7.1.5直线及其表示189

7.2典型例题分析191

7.2.1题型一、向量的运算191

7.2.2题型二、空间曲线与曲面的求解问题192

7.2.3题型三、平面方程的求解问题192

7.2.4题型四、直线方程的相关问题193

7.2.5题型五、直线与平面的关系问题197

7.3深化训练198

7.4深化训练详解201

7.5综合提高训练205

第8章 多元函数微分法及应用208

8.1知识要点208

8.1.1二元函数的定义208

8.1.2二元函数的极限与连续208

8.1.3偏导数209

8.1.4全微分210

8.1.5多元函数的求导法则211

8.1.6二元函数的极值212

8.1.7多元函数微分学的几何应用213

8.1.8方向导数与梯度214

8.2典型例题分析214

8.2.1题型一、多元函数的概念问题214

8.2.2题型二、多元函数的极限与连续问题215

8.2.3题型三、求解多元函数的偏导数与全微分216

8.2.4题型四、多元函数的极值与最值问题218

8.2.5题型五、多元函数微分学的几何应用219

8.2.6题型六、方向导数与梯度221

8.3深化训练222

8.4深化训练详解226

8.5综合提高训练234

第9章 重积分239

9.1知识要点239

9.1.1二重积分的概念与性质239

9.1.2利用直角坐标系计算二重积分240

9.1.3利用极坐标计算二重积分241

9.1.4利用对称性求解二重积分241

9.1.5三重积分的概念242

9.1.6利用直角坐标计算三重积分242

9.1.7利用柱面坐标计算三重积分243

9.1.8利用球面坐标计算三重积分243

9.1.9重积分的应用244

9.2典型例题分析245

9.2.1题型一、重积分的概念问题245

9.2.2题型二、利用直角坐标系计算二重积分246

9.2.3题型三、利用极坐标计算二重积分248

9.2.4题型四、利用直角坐标系计算三重积分250

9.2.5题型五、利用柱面坐标计算三重积分250

9.2.6题型六、利用球面坐标计算三重积分251

9.2.7题型七、重积分的应用251

9.3深化训练252

9.4深化训练详解255

9.5综合提高训练259

第10章 曲线积分与曲面积分265

10.1知识要点265

10.1.1第一类曲线积分的概念及计算265

10.1.2第二类曲线积分的概念及计算266

10.1.3格林公式及其应用267

10.1.4第一类曲面积分的概念与计算268

10.1.5第二类曲面积分的概念与计算269

10.1.6高斯公式与斯托克斯公式271

10.2典型例题分析272

10.2.1题型一、求解第一类曲线积分272

10.2.2题型二、求解第二类曲线积分274

10.2.3题型三、格林公式的应用276

10.2.4题型四、求解第一类曲面积分279

10.2.5题型五、求解第二类曲面积分281

10.2.6题型六、高斯公式、斯托可斯公式的应用283

10.2.7题型七、曲线、曲面积分的实际应用286

10.3深化训练287

10.4深化训练详解290

10.5综合提高训练297

第11章 无穷级数303

11.1知识要点303

11.1.1无穷级数的概念303

11.1.2无穷级数的性质303

11.1.3常见级数的敛散性304

11.1.4正项级数敛散性的判别法304

11.1.5任意项级数的敛散性305

11.1.6函数项级数的概念305

11.1.7幂级数的概念306

11.1.8幂级数的和函数的性质306

11.1.9函数的幂级数展开307

11.1.10常见的麦克劳林公式307

11.1.11傅里叶级数307

11.2典型例题分析308

11.2.1题型一、利用定义与性质判断级数的敛散性308

11.2.2题型二、判断正项级数的敛散性309

11.2.3题型三、判断任意项级数的敛散性310

11.2.4题型四、函数项级数收敛域的求解311

11.2.5题型五、讨论幂级数的收敛半径及收敛域311

11.2.6题型六、求幂级数的和函数312

11.2.7题型七、函数展开成幂级数问题314

11.2.8题型八、傅里叶级数问题315

11.2.9题型九、无穷级数的应用问题316

11.3深化训练316

11.4深化训练详解318

11.5综合提高训练323

2013年考研数学一高等数学考题329

2014年考研数学一高等数学考题335

2015年考研数学一高等数学考题340

2016年考研数学一高等数学考题345

2017年考研数学一高等数学考题350

参考文献354