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第一章 引言：数学分析概要1

1.1 数学分析课程的基本内容1

1.2 对课程学习的忠告2

第二章 集合论初步3

2.1 集合论和数学的严密性3

2.2 集合及其运算5

2.3 笛卡儿积，映射和序9

2.4 集合的基数或势12

第三章 实数理论19

3.1 数系理论发展简述和定义实数遇到的困难19

3.2 由自然数系到有理数系21

3.3 实数定义和完备性23

3.4 实数的运算及其性质28

3.5 实数中一些概念的表述和相关记号40

第四章 数列极限44

4.1 数列的基本概念44

4.2 数列极限的定义和简单性质48

4.3 数列收敛条件和列紧性60

4.3.1 单调数列的极限60

4.3.2 一般数列的极限65

第五章 函数极限通论74

5.1 数值函数极限的统一形式74

5.2 函数沿趋进基极限的性质78

5.3 函数沿趋进基收敛的条件82

第六章 连续函数89

6.1 函数在一点的连续性89

6.2 初等函数的连续性96

6.3 两个初等函数的极限105

6.4 一元连续函数108

6.5 区间上连续函数的性质115

6.6 闭集和开集及紧性的概念125

第七章 一元微分学132

7.1 微积分创立简史132

7.2 微分和导数的定义133

7.3 求导规则136

7.4 区间上的可导函数（中值定理）147

75 不定式160

7.6 泰勒公式166

7.6.1 带佩亚诺余项的泰勒公式166

7.6.2 带一般型余项的泰勒公式169

7.6.3 泰勒公式和泰勒级数171

7.7 函数的极值点和凸性性质175

7.7.1 函数的极值点175

7.7.2 函数的凸凹性177

7.8 插值多项式和方程求根188

78.1 插值多项式188

7.8.2 割线法和切线法（Newton方法）191

第八章 不定积分和黎曼积分198

8.1 不定积分计算198

8.1.1 不定积分的运算性质和公式199

8.1.2 不定积分举例201

8.2 黎曼积分209

8.2.1 黎曼积分基本理论209

8.2.2 黎曼积分准则221

8.2.3 定积分计算实例229

8.2.4 广义黎曼积分236

第九章 多元函数和多元微分学247

9.1 n维欧氏空间Rn中的基本概念247

9.2 Rn中的极限和连续函数254

9.2.1 Rn上极限和连续函数的概念254

9.2.2 连续函数的简单性质256

9.3 多元函数的微分学263

9.3.1 方向导数，可微性和导数264

9.3.2 梯度，多元微分中值定理，泰勒公式，极值条件284

9.3.2.1 梯度与方向导数和切平面284

9.3.2.2 多元微分中值定理和泰勒公式286

9.3.2.3 数值函数的极值问题289

9.3.3 反函数定理，隐函数定理，曲面的切向量和法向量，条件极值293

9.3.3.1 反函数定理和隐函数定理293

9.3.3.2 曲面的切面和法面300

9.3.3.3 条件极值和拉格朗日乘子条件306

第十章 积分学310

10.1 勒贝格测度310

10.1.1 勒贝格外测度311

10.1.2 勒贝格测度和勒贝格可测集318

10.2 可测函数325

10.2.1 可测函数的定义和简单性质325

10.2.2 可测函数的结构性质330

10.3 勒贝格积分339

10.3.1 勒贝格积分定义及其简单性质339

10.3.2 勒贝格积分理论中的基本结果348

10.3.2.1 勒贝格积分与黎曼积分351

10.3.2.2 勒贝格可积函数空间354

10.4 重积分和累次积分358

10.5 常义参变量积分及其微积分性质368

10.6 广义参变量积分及其微积分性质374

10.6.1 广义积分的定义374

10.6.2 广义参变量积分的微积分性质383

10.6.3 广义参变量积分一致收敛准则389

10.7 欧拉积分396

10.8 重积分变量替换404

10.8.1 正则变换，线性变换和记号复习405

10.8.2 正则变换和可测变换406

10.8.3 仿射变量替换积分公式407

10.8.4 正则变量替换积分公式411

第十一章 级数论426

11.1 数值级数及其判敛法426

11.1.1 数值级数定义和简单性质426

11.1.2 正项级数及其判敛法429

11.1.3 变号级数及其判敛法438

11.2 函数项级数及一致收敛判别法445

11.2.1 函数项级数的一致收敛性446

11.2.2 函数项级数的微积分性质451

11.3 幂级数和泰勒级数455

11.4 三角级数和傅里叶级数464

11.4.1 三角级数的定义464

11.4.2 傅里叶级数468

11.4.3 2π周期连续函数和费耶定理482

11.4.4 周期函数的傅里叶级数与傅里叶变换486

第十二章 曲线和曲面上的积分494

12.1 曲线长度和曲线积分494

12.1.1 曲线和曲线的长度494

12.1.2 第一型曲线积分505

12.1.3 第二型曲线积分510

12.1.4 格林公式514

12.2 曲面上的测度和曲面积分520

12.2.1 曲面的表示和曲面上的测度520

12.2.2 第一型曲面积分525

12.2.3 第二型曲面积分528

12.2.4 散度定理537

12.2.5 微分形式和梯度场545

12.3 R3中的场论551

参考文献555