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第8章 无穷级数1

8.1数项级数的概念与性质1

8.1.1数项级数的概念1

8.1.2数项级数与无穷积分的关系5

8.1.3数项级数的基本性质5

习题8.18

8.2数项级数的审敛法9

8.2.1正项级数及其审敛法10

8.2.2交错级数及其审敛法17

8.2.3绝对收敛与条件收敛19

8.2.4绝对收敛级数的性质21

8.2.5柯西审敛原理23

习题8.225

8.3幂级数26

8.3.1函数项级数的一般概念26

8.3.2幂级数及其收敛域27

8.3.3幂级数的运算与性质33

习题8.338

8.4函数的幂级数展开式38

8.4.1泰勒公式与泰勒级数38

8.4.2函数展开成幂级数的方法43

习题8.450

8.5泰勒公式与幂级数展开式的简单应用51

8.5.1计算极限51

8.5.2微分不（恒）等式的证明52

8.5.3求数项级数的和53

8.5.4欧拉公式53

8.5.5近似计算55

习题8.557

8.6傅里叶级数58

8.6.1三角函数系的正交性58

8.6.2以2π为周期的函数展开成傅里叶级数60

8.6.3正弦级数和余弦级数63

8.6.4以2ι为周期的周期函数的傅里叶展开式67

习题8.670

自测题870

第9章 向量代数与空间解析几何76

9.1向量及其线性运算76

9.1.1空间直角坐标系76

9.1.2向量的基本概念78

9.1.3向量的线性运算79

9.1.4向量的位置关系81

9.1.5向量的坐标表示82

9.1.6方向角与方向余弦83

习题9.184

9.2向量的数量积与向量积85

9.2.1数量积85

9.2.2两向量数量积的直角坐标运算86

9.2.3向量在轴上的投影87

9.2.4向量积87

9.2.5向量积的直角坐标运算88

9.2.6向量的混合积90

习题9.292

9.3平面及其方程92

9.3.1平面的点法式方程92

9.3.2平面的一般式方程94

9.3.3平面的截距式方程95

9.3.4两平面间的关系96

9.3.5点到平面的距离97

习题9.398

9.4空间直线方程98

9.4.1直线的一般式方程98

9.4.2直线的点向式方程99

9.4.3两直线间的位置关系101

9.4.4直线与平面的位置关系102

9.4.5平面束方程103

9.4.6空间点、直线与平面的距离公式104

习题9.4105

9.5常见的曲面方程106

9.5.1曲面方程107

9.5.2柱面107

9.5.3旋转曲面108

9.5.4常见的二次曲面110

习题9.5113

9.6空间曲线及其方程114

9.6.1空间曲线的一般方程114

9.6.2空间曲线的参数方程115

9.6.3空间曲线在坐标平面上的投影116

习题9.6119

自测题9119

第10章 多元函数微分学121

10.1多元函数的基本概念121

10.1.1区域121

10.1.2n维空间123

10.1.3多元函数的概念123

10.1.4多元函数的极限125

10.1.5多元函数的连续性127

习题10.1129

10.2多元函数的偏导数129

10.2.1偏导数的定义129

10.2.2偏导数的计算131

10.2.3高阶偏导数133

习题10.2135

10.3全微分136

10.3.1全微分的定义136

10.3.2全微分与偏导数的关系138

10.3.3全微分的应用139

习题10.3140

10.4链式法则141

10.4.1复合函数的中间变量均为多元函数的情形141

10.4.2复合函数的中间变量均为一元函数的情形142

10.4.3复合函数的中间变量既有一元函数又有多元函数的情形143

10.4.4全微分的形式不变性145

习题10.4146

10.5隐函数的求导公式147

10.5.1由方程确定的一元隐函数情形147

10.5.2由方程确定的二元隐函数情形148

10.5.3由方程组确定的两个隐函数情形149

习题10.5150

10.6方向导数与梯度152

10.6.1方向导数152

10.6.2梯度154

习题10.6156

10.7多元函数微分学的几何应用157

10.7.1空间曲线的切线与法平面157

10.7.2曲面的切平面与法线160

习题10.7162

10.8多元函数的极值164

10.8.1极值164

10.8.2条件极值168

习题10.8170

自测题10171

第11章 重积分175

11.1二重积分的概念与性质175

11.1.1引例175

11.1.2二重积分的定义177

11.1.3二重积分的性质178

习题11.1183

11.2二重积分的计算184

11.2.1直角坐标系下二重积分的计算方法185

11.2.2二重积分的换元公式与极坐标下二重积分的计算方法192

习题11.2198

11.3三重积分202

11.3.1三重积分的概念与性质202

11.3.2三重积分的计算204

习题11.3214

11.4重积分的应用215

11.4.1曲顶柱体的体积215

11.4.2曲面的面积218

11.4.3质心221

11.4.4转动惯量222

11.4.5引力225

习题11.4226

自测题11227

第12章 曲线积分与曲面积分230

12.1第一型曲线积分230

12.1.1物质曲线的质量230

12.1.2第一型曲线积分的概念231

12.1.3第一型曲线积分的性质233

12.1.4第一型曲线积分的计算234

12.1.5物质曲线的质心与转动惯量236

习题12.1237

12.2第二型曲线积分238

12.2.1变力沿曲线所做的功238

12.2.2第二型曲线积分的概念240

12.2.3第二型曲线积分的性质242

12.2.4第二型曲线积分的计算243

12.2.5两类曲线积分的关系247

习题12.2249

12.3格林公式曲线积分与路径的关系250

12.3.1格林公式250

12.3.2平面上曲线积分与路径无关的条件256

习题12.3262

12.4第一型曲面积分263

12.4.1物质曲面的质量263

12.4.2第一型曲面积分的概念264

12.4.3第一型曲面积分的性质265

12.4.4第一型曲面积分的计算265

习题12.4268

12.5第二型曲面积分269

12.5.1非匀速流体的流量269

12.5.2第二型曲面积分的概念与性质271

12.5.3第二型曲面积分的计算273

12.5.4两类曲面积分之间的联系276

习题12.5279

12.6高斯公式与斯托克斯公式279

12.6.1高斯公式280

12.6.2斯托克斯公式285

习题12.6290

自测题12292

第13章 场论与向量函数初步296

13.1场论初步296

13.1.1场的概念296

13.1.2梯度场297

13.1.3散度场299

13.1.4旋度场301

13.1.5几种特殊的向量场303

习题13.1305

13.2向量函数初步305

13.2.1一元向量函数的微分305

13.2.2一元向量函数的积分309

习题13.2311

自测题13311

附录 常用数学公式312

部分习题答案与提示323

参考文献342