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第1章 集合1

1.1 集合的基本概念1

1.1.1 集合的表示方法1

1.1.2 子集2

1.1.3 全集和补集3

1.1.4 幂集3

1.2 集合的基本运算5

1.2.1 交和并5

1.2.2 差和对称差8

习题14

第2章 二元关系与函数17

2.1 二元关系的基本概念17

2.1.1 引言17

2.1.2 笛卡儿乘积与二元关系的定义18

2.1.3 二元关系的3种表示方法19

2.1.4 二元关系的基本类型22

2.2 等价关系与偏序关系26

2.2.1 等价关系与划分26

2.2.2 偏序关系32

2.3 复合关系与逆关系36

2.3.1 复合关系36

2.3.2 逆关系40

2.3.3 关系的闭包运算42

2.4 函数45

2.4.1 函数的基本概念45

2.4.2 特殊函数47

2.4.3 复合函数与逆函数49

习题53

第3章 组合计数初步58

3.1 容斥原理和鸽舍原理58

3.1.1 容斥原理58

3.1.2 鸽舍原理61

3.2 递推关系63

3.2.1 递推关系的基本概念63

3.2.2 齐次常系数线性递推关系65

3.2.3 非齐次常系数线性递推关系69

3.2.4 生成函数80

习题88

第4章 图论92

4.1 图的基本概念92

4.1.1 图的基本术语92

4.1.2 图的矩阵表示94

4.1.3 图中顶点的度数95

4.1.4 子图与图的同构97

4.1.5 完全图与补图99

4.2 通路与赋权图的最短通路103

4.2.1 通路与回路103

4.2.2 图的连通性104

4.2.3 赋权图的最短通路109

4.3 树114

4.3.1 无向树114

4.3.2 有向树119

4.3.3 前缀码与最优树121

4.4 欧拉图与哈密顿图126

4.4.1 欧拉图126

4.4.2 哈密顿图130

4.5 二部图和平面图135

4.5.1 二部图135

4.5.2 平面图138

习题145

第5章 命题逻辑152

5.1 命题逻辑的基本概念152

5.1.1 命题152

5.1.2 命题联结词153

5.1.3 命题公式156

5.1.4 命题公式的真值表158

5.1.5 永真式、永假式和可满足式159

5.2 逻辑等价161

5.2.1 逻辑等价161

5.2.2 代换规则162

5.2.3 对偶原理165

5.2.4 联结词的完备集165

5.3 范式和主范式166

5.3.1 析取范式和合取范式166

5.3.2 主析取范式和主合取范式167

5.4 逻辑蕴涵177

5.4.1 逻辑蕴涵的定义177

5.4.2 逻辑蕴涵的性质178

5.5 推理理论181

5.5.1 前提和有效结论181

5.5.2 直接证明法183

5.5.3 间接证明法183

习题188

第6章 谓词逻辑194

6.1 谓词逻辑的基本概念195

6.1.1 个体词与谓词195

6.1.2 量词196

6.1.3 谓词公式202

6.1.4 约束变元和自由变元203

6.2 逻辑等价与逻辑蕴涵205

6.2.1 永真式、永假式和可满足式205

6.2.2 逻辑等价式和逻辑蕴涵式205

6.2.3 前束范式211

6.3 推理理论212

习题217

第7章 代数系统简介220

7.1 代数系统的基本概念220

7.1.1 代数系统的定义220

7.1.2 特殊运算与特殊元素223

7.1.3 同构230

7.2 半群与独异点232

7.2.1 半群与子半群233

7.2.2 独异点与子独异点236

7.3 群238

7.3.1 群的定义和性质238

7.3.2 子群245

7.3.3 循环群250

7.3.4 陪集和拉格朗日定理253

7.3.5 群码256

7.4 环和域260

7.4.1 环260

7.4.2 域263

7.5 格266

7.5.1 格的定义266

7.5.2 格和偏序集267

7.5.3 特殊格270

习题275

参考文献281