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第8章 多元函数微分法及其应用1

8.1 平面点集与多元函数1

8.1.1 平面点集1

8.1.2 R2上的完备性定理3

8.1.3 二元函数5

8.1.4 n元函数6

习题8.17

8.2 二元函数的极限和连续性7

8.2.1 二元函数的极限7

8.2.2 累次极限9

8.2.3 二元函数的连续性10

8.2.4 有界闭域上二元连续函数的性质11

习题8.212

8.3 偏导数和全微分13

8.3.1 偏导数13

8.3.2 高阶偏导数15

8.3.3 全微分16

8.3.4 全微分在近似计算中应用18

习题8.319

8.4 复合函数微分法20

8.4.1 复合函数求导法则20

8.4.2 复合函数的全微分23

8.4.3 复合函数的高阶偏导数24

习题8.425

8.5 隐函数存在定理及其微分法26

8.5.1 一个方程的情形26

8.5.2 方程组的情形31

习题8.533

8.6 多元函数微分学的几何应用34

8.6.1 空间曲线的切线与法平面34

8.6.2 曲面的切平面与法线36

习题8.638

8.7 方向导数与梯度39

8.7.1 方向导数39

8.7.2 梯度42

习题8.744

8.8 二元函数的泰勒公式45

8.8.1 借助于一元函数的泰勒公式45

8.8.2 二元函数的泰勒中值定理45

8.8.3 二元函数的麦克劳林公式46

习题8.846

8.9 多元函数的极值及其求法47

8.9.1 二元函数的无条件极值47

8.9.2 二元函数的最大值和最小值49

8.9.3 条件极值和拉格朗日乘子法50

习题8.952

8.10 最小二乘法53

8.10.1 经验公式53

8.10.2 引入最小二乘法的实例53

8.10.3 化成线性函数应用最小二乘法的实例55

习题8.1056

第9章 重积分57

9.1 二重积分的概念57

9.1.1 二重积分的定义57

9.1.2 二重积分的性质60

习题9.161

9.2 二重积分的计算61

9.2.1 在直角坐标系下二重积分的计算61

9.2.2 极坐标系下二重积分的计算67

9.2.3 二重积分的换元法72

习题9.274

9.3 三重积分的概念及计算法76

9.3.1 三重积分的概念76

9.3.2 在直角坐标系下三重积分的计算77

9.3.3 在柱坐标系下三重积分的计算82

9.3.4 在球面坐标系下三重积分的计算85

习题9.388

9.4 重积分的应用90

9.4.1 几何应用90

9.4.2 物理应用92

习题9.496

9.5 含参变量的积分97

9.5.1 含参变量的积分的定义97

9.5.2 含参变量的积分的性质97

习题9.5102

第10章 曲线积分与曲面积分103

10.1 对弧长的曲线积分103

10.1.1 概念与性质103

10.1.2 对弧长的曲线积分的计算104

10.1.3 对弧长的曲线积分的应用108

习题10.1110

10.2 对坐标的曲线积分110

10.2.1 概念与性质110

10.2.2 对坐标的曲线积分的计算112

10.2.3 两类曲面积分的关系114

习题10.2115

10.3 格林公式116

10.3.1 格林公式116

10.3.2 平面曲线积分的四个等价命题121

习题10.3126

10.4 对面积的曲面积分128

10.4.1 概念与性质128

10.4.2 对面积的曲面积分的计算128

10.4.3 对面积的曲面积分的应用132

习题10.4133

10.5 对坐标的曲面积分134

10.5.1 概念与性质134

10.5.2 对坐标的曲面积分的计算136

10.5.3 两类曲面积分之间的关系140

习题10.5141

10.6 高斯公式、通量与散度142

10.6.1 高斯（Gauss）公式142

10.6.2 通量与散度145

习题10.6146

10.7 斯托克斯公式、环流量与旋度147

10.7.1 斯托克斯公式147

10.7.2 旋度的概念149

10.7.3 空间曲线积分的四个等价命题150

习题10.7150

第11章 无穷级数151

11.1 常数项级数的概念与性质151

11.1.1 基本概念151

11.1.2 性质153

习题11.1155

11.2 常数项级数的审敛法155

11.2.1 正项级数审敛法155

11.2.2 绝对收敛与条件收敛160

11.2.3 交错级数审敛法161

习题11.2164

11.3 函数项级数的一致收敛性165

11.3.1 一致收敛性的概念165

11.3.2 一致收敛性的判别法168

11.3.3 一致收敛级数的基本性质169

习题11.3171

11.4 幂级数171

11.4.1 幂级数及其收敛性171

11.4.2 幂级数的内闭一致收敛性175

11.4.3 幂级数的运算177

习题11.4180

11.5 函数展开成幂级数及其应用180

11.5.1 泰勒级数的收敛性定理181

11.5.2 将函数展开为泰勒级数182

11.5.3 函数的幂级数展开式的应用186

习题11.5188

11.6 傅里叶级数188

11.6.1 傅里叶级数188

11.6.2 正弦级数和余弦级数193

习题11.6195

11.7 一般周期函数的傅里叶级数196

11.7.1 一般周期函数傅里叶级数的收敛性196

11.7.2 一般周期函数的傅里叶级数展开196

习题11.7200

第12章 微分方程201

12.1 微分方程的基本概念201

12.1.1 引例201

12.1.2 常微分方程的基本概念201

习题12.1202

12.2 一阶微分方程202

12.2.1 可分离变量方程203

12.2.2 齐次方程204

12.2.3 可化为前两类方程的方程205

习题12.2206

12.3 一阶线性微分方程207

12.3.1 一阶线性齐次微分方程207

12.3.2 一阶线性非齐次微分方程207

12.3.3 伯努利方程209

习题12.3211

12.4 全微分方程212

12.4.1 全微分方程的定义212

12.4.2 全微分方程的判别式和解法212

12.4.3 可化为全微分方程的方程213

习题12.4214

12.5 可降阶的高阶微分方程215

12.5.1 y（n）＝f（x）型n阶微分方程215

12.5.2 y″＝f（x，y′）型二阶微分方程215

12.5.3 y″＝f（y，y′）型二阶微分方程216

12.5.4 混合解法217

习题12.5218

12.6 高阶线性微分方程218

12.6.1 二阶线性齐次微分方程的解的结构219

12.6.2 二阶线性非齐次微分方程解的结构219

习题12.6220

12.7 二阶常系数线性齐次微分方程求解221

12.7.1 方程的形式221

12.7.2 解的结构221

12.7.3 方程的解法221

12.7.4 解法总结222

12.7.5 推广223

习题12.7223

12.8 二阶常系数线性非齐次微分方程求解224

12.8.1 自由项为f（x）＝pm（x）eλx的求解224

12.8.2 自由项为f（x）＝pm（x）eλx cosωx（f（x）＝pm（x）eλx sin ωx）的求解226

习题12.8229

12.9 常微分方程的解法和应用举例229

12.9.1 欧拉方程229

12.9.2 微分方程的幂级数解法230

12.9.3 常系数线性微分方程组解法232

12.9.4 常微分方程的应用234

习题12.9238

习题参考答案239