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第一章 概率论基本知识1

1.1 预备知识1

1.1.1 概率空间1

1.1.2 随机变量3

1.1.3 矩、特征函数与分布4

1.1.4 随机变量在概率空间上的实现问题9

1.2 随机变量序列的各种收敛性11

1.2.1 依概率收敛11

1.2.2 a.s.收敛11

1.2.3 平均收敛13

1.2.4 依分布收敛17

1.2.5 各种收敛性之间的关系18

1.2.6 连续性定理18

1.3 经典极限理论中的有关结果19

1.3.1 大数律19

1.3.2 中心极限定理23

1.3.3 渐近正态的收敛速度估计26

1.4 鞅29

1.4.1 条件数学期望29

1.4.2 鞅与相关的概念30

1.4.3 鞅足标的随机化34

1.4.4 基本不等式40

1.4.5 下鞅和鞅收敛的基本定理45

1.4.6 鞅的大数律和中心极限定理51

1.5 三大积分变换57

1.5.1 Fourier积分公式58

1.5.2 Fourier变换、Laplace变换与它们的逆变换60

1.5.3 Mellin变换61

第二章 随机结构68

2.1 图论中的基本概念68

2.1.1 图的概念与表示68

2.1.2 树的概念73

2.2 随机图论74

2.2.1 经典随机图论74

2.2.2 随机网络76

2.2.3 随机树78

2.3 两类典型的随机递归结构78

2.3.1 组合随机递归结构78

2.3.2 连续参数随机递归结构80

2.4 与数据搜索有关的随机递归结构举例82

2.4.1 Quickselect82

2.4.2 聚类合并（Mergesort）83

2.4.3 索回树（Tries）83

2.5 随机m叉搜索树85

2.5.1 随机m叉搜索树的概念85

2.5.2 随机二叉搜索树的子树86

2.5.3 随机二叉搜索树上的顶点数目87

2.5.4 随机二叉搜索树上随机顶点的深度88

2.6 均匀递归树89

2.6.1 均匀递归树的概念89

2.6.2 均匀递归树的分支数目91

2.6.3 均匀递归树上顶点n的深度94

2.6.4 均匀递归树中的路径总长96

2.6.5 均匀递归树最大分支98

第三章 概率距离100

3.1 概率距离的一般性理论100

3.1.1 从函数空间中的距离谈起100

3.1.2 一般度量空间中的概率距离103

3.1.3 复杂距离与简单距离108

?4.6 极限方程退化的情形183

4.6.1 问题的由来183

4.6.2 单一分支退化情形，渐近正态184

4.6.3 一些应用191

4.6.4 多分支退化情形194

4.7 连续参数情形199

4.7.1 参数连续情形下的一般性压缩定理200

4.7.2 连续参数下的中心极限定理203

4.7.3 周期变化情形下的有关结果206

4.8 关于分割树上顶点数目的讨论211

4.8.1 N（x）的期望与方差211

4.8.2 N（x）的中心极限定理226

4.8.3 适用于本节结论的一些例子229

4.8.4 不适用于本节结论的一些例子233

第五章 Pólya罐模型235

5.1 模型简介235

5.2 只含两种颜色球的Pólya罐236

5.2.1 Pólya－Eggenberger罐236

5.2.2 Bernard Friedman罐238

5.2.3 Bagchi－Pal罐239

5.2.4 Ehrenfest罐244

5.3 Pólya过程244

5.3.1 Poisson化244

5.3.2 反Poisson化253

5.4 极限性质258

5.5 广义Pólya罐模型268

5.6 在随机树中的应用275

5.6.1 随机二叉搜索树275

5.6.2 m叉搜索树277

5.6.3 均匀递归树280

第六章 生成函数287

6.1 单变量生成函数287

6.1.1 普通单变量生成函数的定义与性质287

6.1.2 指数型生成函数的定义与性质291

6.1.3 单变量生成函数的应用举例：Catalan数292

6.1.4 生成函数的系数295

6.2 双变量生成函数298

6.2.1 应用示例：有显式情形299

6.2.2 应用示例：无显式情形306

6.3 概率生成函数309

6.3.1 概率生成函数的定义与性质309

6.3.2 概率生成函数的应用举例311

6.4 生成函数在随机结构中的若干应用315

6.4.1 均匀递归树的最大分支和最小分支315

6.4.2 m叉随机搜索树上的不成功搜索327

第七章 经典方法在随机结构研究中的若干应用338

7.1 组合概率方法：关于均匀递归树上的分支数目研究338

7.1.1 ζn，1的分布律和极限分布338

7.1.2 一般情形340

7.1.3 ζn，m的联合分布343

7.1.4 ζn，m联合分布的极限分布345

7.2 组合概率方法：关于Yule树的研究348

7.3 独立和方法：关于均匀递归树上的顶点间距离研究352

7.3.1 关于均匀递归树上顶点间距离研究的背景介绍352

7.3.2 均匀递归树上顶点间距离的大数律353

7.3.3 均匀递归树上顶点间距离的中心极限定理354

7.4 矩方法361

7.5 鞅方法368

7.5.1 均匀递归树的路径总长368

7.5.2 Barabási-Albert随机树的最大顶点度数370

7.6 Stein方法375

7.6.1 正态逼近375

7.6.2 Poisson逼近380

参考文献385

索引392